Komplekse tal

I dette kursus vil vi introducere en talmængde, der kaldes de komplekse tal. Vi skal blandt andet se, hvordan de komplekse tal gør det muligt at finde løsninger til alle andengradsligninger. Vi vil derudover undersøge de algebraiske egenskaber ved de komplekse tal og se forskellige måder at repræsentere dem på.


Kursusbeskrivelse

Faglige forudsætninger
Dette kursus forudsætter, at deltagerne har gennemført følgende kurser: Matematik Intro, Analyse 1 og Matematiske Metoder.

Indhold
I dette kursus vil vi introducere en talmængde, der kaldes de komplekse tal. Vi skal blandt andet se, hvordan de komplekse tal gør det muligt at finde løsninger til alle andengradsligninger. Kurset indeholder følgende emner

  • Algebraiske egenskaber ved de komplekse tal

  • Geometrisk fortolkning af de komplekse tal

  • Sinus og cosinus som funktioner

  • Komplekse løsninger til andengradsligninger

  • Algebraens fundamentalsætning

Ovennævnte emner introduceres og uddybes gennem tavleundervisning og opgaveregning. Der vil være fokus på at deltagerne tilegner sig stoffet i et omfang, der gør dem i stand til at løse grundlæggende opgaver. 

Målsætning
Det er målet med kurset, at deltagerne skal have en grundlæggende forståelse af hvordan de komplekse tal er en udvidelse af de reelle tal samt hvilke matematiske resultater der følger af denne udvidelse. Deltagerne skal desuden være i stand til at kunne addere og multiplicere komplekse tal algebraisk såvel som at kunne fortolke disse operationer geometrisk i den komplekse plan.


Forberedelse

Kurset Komplekse tal omhandler først og fremmest indførslen af de komplekse tal, men fungerer også som en genopfriskning af centrale begreber fra Analyse 1 kurset. Så hvis du havde svært ved begreberne introduceret i Analyse 1, har du en chance for at for opfrisket nogle af disse.

Komplekse tal skal vi i øvrigt bruge funktionerne sinus og cosinus. Det er ikke forventet at du hat set dette på forhånd, og derfor følger der en forberedelsesnote med til kurset. Noten hedder ”Note om sinus og cosinus”, og omhandler netop disse funktioner. Der bliver gennemgået teori med tilhørende øvelser og opgaver, og tilslut i noten gives facit til opgaverne. Det anbefales at man gennemgår noten før kurset. Når du ikke dette er det okay, da notens indhold gennemgås kort på selve kurset.

Hvis du har svært ved regnetekniske færdigheder, som der bliver undervist i på Matematik Intro, anbefales det at du ser på dette i stedet. På komplekse tal forventer vi, at du:

  • behersker de fire regnearter med brøker

  • kan genkende potensregnereglerne, kan benytte dem samt give en intuitiv begrundelse for dem

  • kan løse andengradsligninger

  • kan løse ligninger med en ubekendt

  • kan bruge de tre kvadratsætninger

Hvis der er en eller flere af disse punkter, som du er i tvivl om at du behersker, anbefales det at du arbejder med disse fremfor at se på noten om sinus og cosinus. Til dette kan du bruge noten "Grundlæggende Regneteknik". Du behøver ikke arbejde dig gennem alt materialet, og du kan vælge de emner, som du synes er relevante.


Materialer