Talteori

I dette kursus skal vi undersøge de hele tal og deres egenskaber og struktur, hvor primtallene spiller en helt central rolle. I kurset vil du opnå dybere forståelse for divisorer og se, hvordan de kan bruges til at løse bestemte typer ligninger. Kurset Talteori er et af de første videregående kurser, du vil møde.


Kursusbeskrivelse

Faglige forudsætninger
For at få fuldt udbytte af dette kursus anbefales det, at deltagerne har gennemført kurserne Matematik Intro og Matematiske Metoder. Fra Matematik Intro er det især vigtigt, at du kan:

  • Faktorisere flerleddede størrelser.

  • Løse ligninger med en ubekendt.

  • Bruge de tre kvadratsætninger.

Derudover består en del af opgaverne i kurset af små beviser, og her er det centralt, at du har styr på grundlæggende bevisteknik fra Matematiske Metoder. Det indebærer at kunne lave små beviser om lige og ulige tal. Dog er bevisførelse en svær disciplin, så frygt ej, hvis du synes, at det er udfordrende.

Indhold
Talteori er et af de ældste emner inden for matematik og stammer helt tilbage fra grækerne. Det har mange teoretiske anvendelser, og det benyttes blandt andet i al moderne kryptering. Talteori beskæftiger sig med egenskaber ved de hele tal. I løbet af kurset når vi igennem følgende emner:

  • Divisorer og Euklids algoritme

  • Bezouts identitet og diofantiske ligninger

  • Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning

Kurset indledes med en grundlæggende undersøgelse af begrebet divisibilitet, altså et spørgsmål om hvornår tal går op i hinanden. Vi fortsætter ved at se på hvad vi kan sige, om et tal, som går op i to forskellige andre tal på sammen tid. Her bliver den største fælles divisor meget vigtig. Euklids algoritme er en metode til at bestemme denne største fælles divisor, og vi kan desuden bruge Euklids algoritme til at bevise Bezouts identitet. Ud over at Bezouts identitet er interessant i sig selv, skal vi også benytte resultatet til at afgøre, hvornår vi kan løse diofantiske ligninger, dvs. en ligning med to ubekendte, men hvor vi kun er ude efter at finde heltalsløsninger. Vi sætter alt det, vi har lært sammen, når vi til slut undersøger primtal og viser aritmetikkens fundamentalsætning. Denne sætning udtrykker, at ethvert positivt heltal større end 1 kan skrives som et produkt af primtal. På den måde bliver primtallene byggesten for alle andre tal. Det er et flot resultat, men det er også hamrende anvendeligt i opgaveregning.

Ovennævnte emner introduceres og uddybes gennem tavleundervisning og opgaveregning. Der vil være fokus på at deltagerne tilegner sig stoffet i et omfang, der gør dem i stand til at løse grundlæggende opgaver inden for talteori. 

Målsætning
Det er målet med kurset, at deltagerne skal opnå

  • En dybdegående viden om divisorer og fælles divisorer.

  • Algoritmer til bestemmelse af største fælles divisor og løsninger til diofantiske ligninger.

  • En grundlæggende forståelse for primtallenes specielle rolle i forhold til de hele tal.

  • Større sikkerhed i selvstændigt at udføre små beviser.

  • Større forståelse for matematisk korrekt argumentation.


Forberedelse

Kurset Talteori er et videregående kursus, og det forventes derfor, at du har tilegnet dig de færdigheder, der bliver undervist i på Matematik Intro og Matematiske Metoder. Det bliver særligt vigtigt, at du:

  • Kan faktorisere flerleddede størrelser,

  • Kan løse ligninger med en ubekendt,

  • Kan bruge de tre kvadratsætninger,

  • Har styr på direkte beviser.

Hvis du har brug for at træne dine regnetekniske færdigheder, kan det anbefales at læse i noten ”Grundlæggende Regneteknik”. Vi kommer desuden til at lave mange små beviser, så forsøg at lave nogle af beviserne fra opgavesættet til Matematiske Metoder, som omhandler lige og ulige tal eller divisorer.


Materialer

Følgende slides og opgavesæt vil blive brugt i undervisningen:

Slides: Talteori (bruges i undervisningen)

Opgaver: Talteori (bruges i undervisningen)